今天是瑞士國慶日，放假一天在家無事，在此先祝瑞士 733 歲生日快樂。提到 YouTuber 大家可能在意訂閱數、觀看數、收益業配之類的，但一如往常，本文不會討論這些。如果 Howhow 或 Joeman 之類的有看到此文的話可以幫我拍手一下，謝。
本文來研究一下觀看次數的問題，如果把某 YouTuber 所有影片的觀看數都抓出來，並取其首位數，那麼從一到九，哪個數字出現的機率最高？看到這邊，你可能已經想關掉，所以在你關掉之前容我快速解釋一下，假設觀看數是 123,456（十二萬多），那就首位就是 1 ，如果是 432,100 （四十三萬多）那首位就是 4。現在大家可以思考一下，平常比較常看到的觀看次數，通常是什麼開頭？如果是幾十萬的話，是「幾」十萬？會不會每個數字都一樣是九分之一？又或者每個數字都不一樣，若不一樣，那是怎麼分布？
下好離手了嗎？
你可能會覺得，這什麼爛問題，有辦法提升我的訂閱數或觀看數嗎？老實說，沒有辦法。我隨便抓了三個台灣百萬訂閱頻道：HowFun （151 萬訂閱）、Joeman（258 萬訂閱）、木曜4超玩（234 萬訂閱），括號中為 2024 年 7 月底的訂閱數。每個頻道都抓 508 支影片，所以根據頻道影片更新的頻率，分別包含了近五、三、七年的影片。接著把每支影片標題與觀看次數抓出來，並抓出首位數字，畫成下圖。
上圖不知道是否有符合你剛剛的推測？大致上數字越大，出現機率越小。而且三個頻道的分布差不多（好啦，木曜的 1 有點太多），這時候你可能有種，喔對啊，很合理吧，講什麼廢話，但同時又有種，奇怪，是嗎？為什麼？有這種事？為啥不是都九分之一呢？
這就是傳說中的 Benford’s Law，也就是今天要來驗證的主角。早在 1881 年時，天文學家 Simon Newcomb 哥秉持著「仔細觀察運動」的精神，發現了奇異現象。他發現，在對數表中，比較前面的頁數被翻爛了，但後面的卻沒有（對數表通常是從 1 開始）。對於不知道什麼是對數表的年輕人：可以把它想像成是一本「計算機」，在計算機出現之前要算東西的話可以用類似查字典的方式查到答案，印象中本人高中時數學課有教。
接著 1938 年物理學家 Frank Benford 哥，找了一堆神秘數字來驗證這個「首位數字小、翻爛」的假說，他找了 104 個物理常數、308 個《讀者文摘》(Reader’s Digest) 裡面的數字、335 條河流的面積等等等一堆看似不相干的數字，發現好像真的是首位數字越小，出現機率越高，還發了一篇 Paper ，也因而得名。
經過了快一百年，數學還是數學，儘管當時沒 YouTube，但觀看次數仍然逃不出這個法則。準確來說，首位數字 d 出現的機率是 log(1+1/d)，log底是 10，也就是說首位數字為 1 機率約有 30%，2 的話有 17.6%，3 有 12.5%，從 4 開始都小於 10% 到 9 最低只有 4.6%。現在我們把這三個頻道的數字都加起來（因越多筆數字應該會越趨近於理論數字）並轉換成百分比，再把Benford’s law 所得出的數字也畫出來，就會得到下圖。他們三個頻道的觀看數總和，大致上符合這個公式。換言之，首位數字是 1 或 2 的機率接近一半 47.6% ，下次你看 YouTube 影片時，可觀察一下觀看次數的首位數字是不是 1 或 2。
真的是這樣嗎？
秉持著上一篇提到「追根究柢的精神」，其實有些時候數字並不會出現這樣的分布。Benford’s law 中數字分布範圍最好要大，否則可能不會出現這樣的分布。以上述 YouTube 的例子，這三個頻道大概一千五百支影片，觀看次數從四、五萬次到千萬次都有。為了挑戰（驗證）此事，我去卡好網站抓取了中華職棒 33 年 (2022) 與 34 年 (2023) 每年皆三百場比賽的進場人數來看首位數字的分布如何。某種程度上棒球觀眾人數與 YouTuber 觀看人數是一樣的意思，都是觀眾，只是棒球場不太可能可以坐下百萬或千萬人，差異的地方就是棒球觀眾的範圍小，因為球場容量有限，而 YouTuber 觀看次數沒有上限（當然應該還是有啦，只是不太可能遇到）。此外，棒球場有時間限制，YouTube 則沒有，也就是說棒球比賽那天沒去就沒了，不會有觀眾人數累積的現象。統計之後，這兩年職棒的進場人數結果如下圖。
職棒觀眾人數的首位數字出現了截然不同的分布，無論是哪一年（怎麼感覺這句很英文）。且這兩年的分布也相差許多，職棒 33 年的首位數字集中在 2 和 3 但職棒 34 年則集中在 3 和 4。這極有可能是因為剛剛所提到，職棒觀眾人數範圍太窄了，這些 2 或 3 或 4 顯然是兩、三、四千人，不太可能是四萬甚至四十萬或者四十、四百人。這可能是為何職棒觀眾人數沒有出現類似 Benford’s Law 的分布之因。
未來展望
怎麼突然變成一篇學術文章，還是什麼《科學人》文章，總而言之，就是如此，藍又時秘密，不變的定律。在這邊寫自由自在，想寫什麼就寫什麼，不需要經過審查與老闆同意，舒爽許多。如果你很有毅力，看到這邊可能會想，啊你這樣大費周章抓了一千多支影片標題與觀看次數，結果就只拿來研究首位數字？這根本是用跑車當計程車（有這種比喻嗎）？
的確是如此，如果有空可能可分析一下，這些百萬 YouTuber 觀看次數與標題中的蛛絲馬跡。比如說我隨意看了一下， How 哥影片的標題長度偏短，大概只有 22 個字，其他兩個頻道大概是 46 個字。Joeman 喜歡在標體裡用驚嘆號，86% 的影片標題有驚嘆號，木曜也有 73% 的影片有，但 How 哥就只有 23%，之類的這種可能無用也可能有用的小細節。總而言之，如果你有空，多留意一下你身邊的數字，也許他們也符合 Benford’s law。
